道後温泉

幾何学の起源は、セブ ダイビング古代オリエントにおけるナイル川の定期的な氾濫をめぐる土地測量の手法にまで遡ることができる[1]。 幾何学が大きな進歩を遂げた最初は、他の数学の分野と同じように古代ギリシアにおいてであった。人物としては、タレス、ピタゴラスなどが有名である。彼らはそこで多くの定理を発見し、幅広くそして深く図形を研究したが、特に注記すべきなのは、彼らが証明という全く新しい手法を発見したことである。少数の原理から厳密に演繹を積み重ねて当たり前とは思えない事柄を示していくやり方は、エウクレイデス（ユークリッド）の『原論』において完成され、後の数学の手本となった。 ヨーロッパでは長く、「幾何学的精神」という言葉が厳密さを重んじる数学の王道ともいうべきあり方とされた。また、幾何学は楽にすます道が無い事から「幾何学に王道無し」と言う言葉も生まれた。 幾何学の諸分野 総合幾何学 * ユークリッド幾何学（古典幾何学） * 射影幾何学 * 非ユークリッド幾何学 o 双曲幾何学（ロバチェフスキー・ボヤイ幾何学） o 楕円幾何学 + 球面幾何学 解析学 位相幾何学 * 位相幾何学（トポロジー） o 代数的位相幾何学 o 微分位相幾何学 微分幾何学 * 微分幾何学 o リーマン幾何学 + スペクトル幾何学 o フィンスラー幾何学 o 共形幾何学 o 複素幾何学 o シンプレクティック幾何学 o サブリーマン幾何学 o 情報幾何学 * 積分幾何学 代数学 * 解析幾何学 * 代数幾何学 * 非可換幾何学 有限数学 組合せ数学 * 数え上げ幾何学 * 組合せ幾何学 * フラクタル幾何学 情報工学 * 計算幾何学宮古島 ダイビング 外部リンク * Geometric ArtsAesthetic Geometry Site 注位相幾何学（いそうきかがく、topology）は「やわらかい幾何学」として知られる、比較的新しい幾何学の分野である。位相幾何学では、例えばドーナツ（円環）と取っ手のついたコップは大阪ビジネスホテル同一視される。これはドーナツを「連続」的に変形して取っ手のついたコップにすることができ、その逆もできるからである。ここで、「連続」という言葉を強調することには意味がある。連続性は、まさしく位相幾何学の存在理由となる概念であるからである。連続性を より厳密に定義するために用いられるのが、近さを測る距離の概念を抽象化した 位相と呼ばれる概念である（位相については位相空間の項を参照）。 ユークリッド幾何学が紀元前にはできていたことと比較すると、オイラーやガウスに始まる位相幾何学は高々250年の歴史であり、大きな差がある。オイラーは、いわゆるオイラーの多面体定理において球面に連続的に変形できるような多面体の辺・頂点・面の数の間にある関係が成り立つことを見出したが、これをもって位相幾何学の始まりとするのが一般的である。 古典的な位相幾何学は、ビジネスホテル大阪図形として取り扱い易い多面体を扱っていたが、20世紀に入り、（微分可能）多様体、ホモトピー、（コ）ホモロジー、ファイバー束等の新しい概念が導入されて、数学の最先端の一部を成している。位相幾何学の基本的な考え方として、連続写像によって変わらないような性質を見出すことがある。例えば、冒頭のコップとドーナツの例では、どちらも一つのつながった図形（連結性）であり、また穴が一つだけ空いている。このような性質は位相不変量と呼ばれる。視点を逆にして、同じ位相不変量をもつ図形が互いに連続的に移りあうか、という問題を考えることもできる。例えばポアンカレ予想はそのような問題である。 位相幾何学の研究は、低次元の空間を扱うものと高次元の空間を扱うものとで、その手法が大きく異なる。 位相幾何学は大きく、代数的位相幾何学、微分位相幾何学それから低次元位相幾何学に良く見られる幾何学的位相幾何学の三つに分類できる。近年では生物学と数学の学際的分野であるDNAの位相幾何学が勃興した。 関連項目 * セル複体 o 単体的複体 o CW複体 * 多様体 o 閉曲面 * 位相不変量 o ホモロジー o ホモトピー + 基本群 * 軌道体 * 圏 * 関手 * ファイバー束 o ベクトル束 * 低次元位相幾何学 o 結び目理論 o 3次元多様体論 o 4次元多様体論石垣島 ダイビング * 代数幾何学 * 微分幾何学 * 複素多様体論微分幾何学（びぶんきかがく、differential geometry）とは微分を用いた幾何学の研究である。また、可微分多様体上の微分可能な関数を取り扱う数学の分野は微分高速バス TDL位相幾何学（びぶんいそうきかがく、differential topology）とよばれることがある。微分方程式の研究から自然に発生したこれらの分野は互いに密接に関連しており、特に一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある。これらは可微分多様体についての幾何学を構成しているが、力学系の視点からも直接に研究される。 目次 * 1 微分幾何学の道具立てSEOとは * 2 微分位相幾何学 * 3 内在的な定式化と外在的な定式化 * 4 微分幾何学の分野 * 5 関連項目 微分幾何学の道具立て 微分幾何学における基本的な問題意識は多様体上の微分である。これには多様体、接束、余接束、外微分、p-次元部分多様体上のp-形式の積分、ストークスの定理、ウェッジ積、リー微分などの研究が含まれることになる。これらはみな多変数の微積分と関連しているが、幾何学的な理論に応用するために特定の座標系によらずに意味を持つような形で定式化されなければならない。微分幾何学に特徴的な概念によって、二階の導関数の持つ幾何学的な性質、特に曲率の多くの側面が体現されるといえるだろう。 微分位相幾何学パラオ ダイビング 微分位相幾何学では多様体上の滑らかな構造のみに起因するような構造や性質が調べられる。滑らかな多様体は付加的な幾何構造を付与されてしまった多様体よりも柔軟な対象である。付加的な構造は微分位相幾何学的には可能な変形や同値関係の存在に対する障害になることがある。例えば体積やリーマン曲率は一つの滑らかな多様体上の異なった幾何構造を区別する不変量になりうる。つまり、多様体を滑らかに「引き延ばす」ことができるとしてもそれによって空間が変形されてしまい曲率や体積が影響を受けるということがありうる。 逆に、滑らかな多様体は位相多様体と比較すればより厳しい構造をもっている。ある種の位相多様体は滑らかな構造を持ち得ない（ドナルドソンの定理）し、ある種のものは相異なる複数の滑らかな構造を持ちうる（例えば異種球面）。滑らかな多様体から得られる構成のうち、接束のように（追加の考察をすることで）位相多様体に対しても実現可能なものもあるが、そうでないものもある。 内在的な定式化と外在的な定式化高速バス 格安 十九世紀の初めから中頃まで微分幾何は外在的な視点に立って研究されていたといえる。つまり、（曲面としてはじめから三次元の空間の中に実現されているものを考えるように）曲線や曲面はより高い次元のユークリッド空間の中におかれたものだと見なされていた。特に単純な部分は曲線の微分幾何学に関する結果である。 これに対し、リーマンによる研究を基点として内在的な、問題にしている幾何学的対象を一個の自立したものと高速バス 横浜して考えてその「外に出る」ことを要請しないような視点が発展させられた。この内在的な視点はより柔軟なものであり、例えば相対性理論において時空（その「外側」の意味は全く明らかではない）を外在的な方法によっては自然に捉えられないような状況で便利になる。しかし内在的な視点のもとでは曲率や接続などの中心的な概念を定義することが見かけ上困難になるという代償を払わなければならない。高速バス 広島 これら二つの視点は融和させることが可能で、外在的な幾何とは内在的に定められた幾何学的対象に付加的な構造を付与することだと考えることができる。ナッシュの埋め込み定理も参照のこと。 微分幾何学の分野 リーマン幾何学